Question

（2012•建甌市一模）如圖，已知拋物線y=x²-ax+a²-4a-4與x軸相交于點A和點B，與y軸相交于點D（0，8），直線DC平行于x軸，交拋物線于另一點C，動點P以每秒2個單位長度的速度從C點出發，沿C→D運動，同時，點Q以每秒1個單位長度的速度從點A出發，沿A→B運動，連接PQ、CB，設點P運動的時間為t秒．
（1）求a的值；
（2）當四邊形ODPQ為矩形時，求這個矩形的面積；
（3）當四邊形PQBC的面積等于14時，求t的值．
（4）當t為何值時，△PBQ是等腰三角形？（直接寫出答案）

Answer 1

【答案】分析：（1）把點D（0，8）代入拋物線y=x²-ax+a²-4a-4解方程即可解答；
（2）利用（1）中求得的拋物線，求得點A、B、C、D四點坐標，再利用矩形的判定與性質解得即可；
（3）利用梯形的面積計算方法解決問題；
（4）只考慮PQ=PB，其他不符合實際情況，即可找到問題的答案．
解答：解：（1）把點（0，8）代入拋物線y=x²-ax+a²-4a-4得，
a²-4a-4=8，
解得：a₁=6，a₂=-2（不合題意，舍去），
因此a的值為6；

（2）由（1）可得拋物線的解析式為y=x²-6x+8，
當y=0時，x²-6x+8=0，
解得：x₁=2，x₂=4，
∴A點坐標為（2，0），B點坐標為（4，0），
當y=8時，x²-6x+8=8，
解得：x=0或x=6，
∴D點的坐標為（0，8），C點坐標為（6，8），
DP=6-2t，OQ=2+t，
當四邊形OQPD為矩形時，DP=OQ，
2+t=6-2t，t=，OQ=2+=，
S=8×=，
即矩形OQPD的面積為；

（3）四邊形PQBC的面積為（BQ+PC）×8，當此四邊形的面積為14時，
（2-t+2t）×8=14，
解得t=（秒），
當t=時，四邊形PQBC的面積為14；

（4）過點P作PE⊥AB于E，連接PB，
當QE=BE時，△PBQ是等腰三角形，
∵CP=2t，
∴DP=6-2t，
∴BE=OB-PD=4-（6-2t）=2t-2，
∵OQ=2+t，
∴QE=PD-OQ=6-2t-（2+t）=4-3t，
∴4-3t=2t-2，
解得：t=，
∴當t=時，△PBQ是等腰三角形．
點評：此題考查待定系數法求函數解析式、矩形的判定與性質、矩形的面積、梯形的面積以及等腰三角形的判定等知識．