Question

已知一條拋物線經過A(0,3),B(4,6)兩點,對稱軸是x=.

(1)求這條拋物線的關系式.

(2)證明:這條拋物線與x軸的兩個交點中,必存在點C,使得對x軸上任意點D都有AC+BC≤AD+BD.

 

Answer 1

【答案】

(1) y=(2)證明見解析

【解析】本題主要考查了拋物線與x軸的交點和待定系數法求二次函數解析式

（1）先設出函數的解析式：y=ax²+bx+c，根據拋物線經過A（0，3），B（4，6）兩點，用待定系數法求出函數的解析式；

（2）令y=0，得到方程，根據方程根與系數的關系求出拋物線與x軸的兩個交點，再根據三角形任意兩邊之和大于第三邊，來證明．

(1)解:設所求拋物線的關系式為y=ax²+bx+c,

    ∵A(0,3),B(4,6),對稱軸是直線x=.

    ∴, 解得

    ∴y=.

    (2)證明:令y=0,得=0, ∴

 ∵A(0,3),取A點關于x軸的對稱點E,∴E (0,-3).

設直線BE的關系式為y=kx-3,把B(4,6)代入上式,得6=4k-3,

∴k=,∴y=x-3 .

由 x-3=0,得x= .

故C為,C點與拋物線在x軸上的一個交點重合,

在x軸上任取一點D,在△BED中,BE< BD+DE.

又∵BE=EC+BC,EC=AC,ED=AD,∴AC+BC<AD+BD.

若D與C重合,則AC+BC=AD+BD. ∴AC+BC≤AD+BD.