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如圖,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,O是AB的中點,經過O、C兩點的圓分別與AC、BC相交于D、E兩點.
(1)求證:OD=OE;
(2)求:四邊形ODCE的面積.

【答案】分析:(1)首先連接OC,根據等腰直角三角形的性質得出,∠A=∠OCE=45°,進而得出∠AOD=∠COE,即可得出△AOD≌△COE,得出OD=OE;
(2)根據△AOD≌△COE,得出S△AOD=S△COE,即可求出S四邊形ODCE=S△AOC=S△ABC,得出答案即可.
解答:方法一:
解:(1)連接OC如圖:
∵∠ACB=90°,AC=BC,
∴OA=OC,∠A=∠OCE=45°,∠AOC=90°,
又∵∠DOE=180°-∠ACB=90°,
∴∠AOD=90°-∠DOC,∠COE=90°-∠DOC,
∴∠AOD=∠COE,
∴△AOD≌△COE,
∴OD=OE,

(2)∵△AOD≌△COE,
∴S△AOD=S△COE
∴S四邊形ODCE=S△AOC=S△ABC
∴S四邊形ODCE=××2×2=1;

方法二:
(1)過O分別作OM⊥AC于M,ON⊥BC于N如圖
則四邊形OMCN是矩形,∠MON=90°
∵OM∥BC,
∴△AOM∽△ABC,

又∵BC=2,
∴OM=1,
同理ON=1,
OM=ON,
四邊形OMCN是正方形,
∵∠DOM=90°-∠MOE,∠EON=90°-∠MOE,
∴∠DOM=∠EON,
又∵∠OMD=∠ONE=90°,
∴△DOM≌△EON,
∴OD=OE;
(2)∵△DOM≌△EON,
∴S△ODM=S△OEN
∴S四邊形ODCE=S正方形OMCN
 
點評:此題主要考查了全等三角形的判定以及圖形面積求法,根據等腰直角三角形的性質得出∠AOD=∠COE是解題關鍵.
練習冊系列答案
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求證:∠A=∠B.

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求:∠1+∠2+∠3+∠4.

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求證:∠ANM=∠B.

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14、如圖,△ABC中,∠BAC=120°,AD⊥BC于D,且AB+BD=DC,則∠C的大小是(  )

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精英家教網已知,如圖,△ABC中,點D在BC上,且∠1=∠C,∠2=2∠3,∠BAC=70°.
(1)求∠2的度數;
(2)若畫∠DAC的平分線AE交BC于點E,則AE與BC有什么位置關系,請說明理由.

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同步練習冊答案
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