Question

已知：如圖1，△ABC中，BC=7，高AD=3，∠B=45°，垂直于BC的動直線FM、GN分別從B、C兩點同時出發，向直線AD所在位置平移，直到與AD重合為止．其中M、N為垂足，F、G是兩直線分別與AB、AC的交點．設FM=x，且在平移過程中始終保持FM=GN．
（1）試用含x的代數式表示FG；
（2）若點E與點B關于FM成軸對稱，點H與點C關于GN成軸對稱，在運動過程，設點E、F、G、H圍成的凸多邊形的面積為S，試建立S關于x的函數關系式；
（3）當x為何值時，S的值為3？

Answer 1

分析：（1）由條件可以求證四邊形EMNG是平行四邊形，得到FM=DQ，利用△AFG∽△ABC根據相似三角形的性質表示出FG．
（2）通過作輔助線找到點E、H，連接EF、HG，就得到一個梯形，利用梯形的面積公式就可以表示出S與x的關系式．
（3）把x=3代入（2）的函數關系式，就可以求出相應的x的值．

解答：解：（1）∵∠B=45°，AD⊥BC
∴∠BAD=45°
∴∠B=∠BAD，FM=BM=x
∴AD=DB=3
∵BC=7，∴DC=4
∵FM⊥BC，GN⊥BC
∴FM∥GN
∵FM=GN
∴四邊形FMNG是平行四邊形，
∴FG∥BC，
∴△AFG∽△ABC，
∴

AQ

AD

=

FG

BC

，
∴

3-x

3

=

FG

7

，
FG=

21-7x

3

；

（2）作出B點的對稱點E，C點的對稱點H，連接EF、GH．
ME=BN=x，HN=CN，
∵GN⊥BC，AD⊥BC，∴AD∥GN，∴△CGN∽△CAD，
∴

GN

AD

=

CN

DC

，
∴

x

3

=

CN

4

，
∴CN=

4

3

x，
∴HN=

4

3

x，
∴EH=7-2x-

8

3

x，
∴S=

(7-2x- 8 3 x+ 21-7x 3 )x

2

，
S=

14x-7x2

2

；

（3）當S=3時，
3=

14x-7x2

2

，
x1 =

7+ 7

7

，x2=

7- 7

7

．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質，平行四邊形的性質，軸對稱的性質，梯形的面積公式．