Question

等邊△ABC邊長為8，D為AB邊上一動點，過點D作DE⊥BC于點E，過點E作EF⊥AC于點F．
（1）若AD=2，求AF的長；
（2）求當AD取何值時，DE=EF．

Answer 1

分析：（1）因為AB=8，AD=2，所以BD=AB-AD=6，又因為在Rt△BDE中∠BDE=90°-∠B=30°，根據直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半可得BE=

1

2

BD=3，所以CE=BC-BE=5，同理可知，在Rt△CFE中∠CEF=90°-∠C=30°，CF=

1

2

CE=

5

2

，則可根據AF=AC-FC求得結果；
（2）因為∠BDE=∠CFE=90°，∠B=∠C，DE=EF，所以△BDE≌△CFE，則有BE=CF=

1

2

EC，BE=

1

3

BC=

8

3

，BD=2BE=

16

3

，則有AD=AB-BD=

8

3

時，DE=EF．

解答：解：（1）∵AB=8，AD=2
∴BD=AB-AD=6
在Rt△BDE中
∠BDE=90°-∠B=30°
∴BE=

1

2

BD=3
∴CE=BC-BE=5
在Rt△CFE中
∠CEF=90°-∠C=30°
∴CF=

1

2

CE=

5

2

∴AF=AC-FC=

11

2

；

（2）在△BDE和△EFC中

∠BED=∠CFE=90° ∠B=∠C DE=EF

，
∴△BDE≌△CFE（AAS）
∴BE=CF
∴BE=CF=

1

2

EC
∴BE=

1

3

BC=

8

3

∴BD=2BE=

16

3

∴AD=AB-BD=

8

3

∴AD=

8

3

時，DE=EF．

點評：本題把全等三角形的判定和性質結合求解，考查學生綜合運用數學知識的能力．充分掌握和理解直角三角形中的一些特殊的對應關系并靈活運用可解得此題．