Question

【題目】如圖，在中，，以為直徑的半圓與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)．

求證：；

判斷與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

若的直徑為，，求的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）與相切，理由詳見(jiàn)解析；（3）．

【解析】

（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，由AB=AC得到∠B=∠C，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠CDE=∠B，則∠CDE=∠C，于是根據(jù)等腰三角形的判定即可得到DE=CE；

（2）如圖，連接AE、OE，根據(jù)圓周角定理，由AB為直徑得到∠AEB=90°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得BE=CE，于是可得到OE是△ABC的中位線(xiàn)，所以OE∥AC，由于EF⊥AC，則EF⊥OE，則根據(jù)切線(xiàn)的判定定理可判斷EF與⊙O相切；

（3）證明Rt△ABE∽Rt△ECF，利用相似比計(jì)算出CF=2，然后利用勾股定理計(jì)算EF的長(zhǎng)．

（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C．

∵四邊形ABED內(nèi)接于⊙O，∴∠CDE=∠B，∴∠CDE=∠C，∴DE=CE；

（2）EF與⊙O相切．理由如下：

如圖，連接AE、OE．

∵AB為直徑，∴∠AEB=90°．

∵AB=AC，∴BE=CE，即點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴OE是△ABC的中位線(xiàn)，∴OE∥AC．

∵EF⊥AC，∴EF⊥OE，∴EF與⊙O相切；

（3）∵AB=AC=18，BC=12，∴∠B=∠C，BE=CE=6，∴Rt△ABE∽Rt△ECF，∴，即，解得：CF=2．在Rt△CEF中，EF=．