Question

【題目】如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，AB是⊙O的直徑，點P在CA的延長線上，∠CAD＝45°．

(1)若AB＝4，求的長；

(2)若＝，AD＝AP，求證：PD是⊙O的切線．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）連接OC，OD，由圓周角定理得到∠COD=2∠CAD，∠CAD=45°，可得∠COD=90°，根據弧長公式計算即可得到結論；

（2）由已知條件得到∠BOC=∠AOD，由圓周角定理得到∠AOD=45°，根據等腰三角形的性質得到∠ODA=∠OAD=67.5°，利用角和角的關系，求得ADP=∠CAD=22.5°，得到∠ODP=∠ODA+∠ADP=90°，于是得到結論．

解：

（1）連接OC，OD，

∵∠COD＝2∠CAD，∠CAD＝45°，

∴∠COD＝90°，

∵AB＝4，

∴OC＝AB＝2，

∴的長＝×π×2＝π；

（2）∵＝，

∴∠BOC＝∠AOD，

∵∠COD＝90°，

∴∠AOD＝45°，

∵OA＝OD，

∴∠ODA＝∠OAD，

∵∠AOD+∠ODA+∠OAD＝180°，

∴∠ODA＝67.5°，

∵AD＝AP，

∴∠ADP＝∠APD，

∵∠CAD＝∠ADP+∠APD，∠CAD＝45°，

∴∠ADP＝∠CAD＝22.5°，

∴∠ODP＝∠ODA+∠ADP＝90°，

∴PD是⊙O的切線．