Question

（2012•義烏市模擬）已知拋物線y=-

1

2

x2+2x與直線y=kx都經過原點和點E(

8

3

，

16

9

)．
（1）k=

2

3

；
（2）如圖，點P是直線y=kx（x＞0）上的一個動點，過點P作x軸的垂線，垂足是點C，交拋物線于點B，過點B作x軸的平行線交直線y=kx于點D，連接OB；若以B、P、D為頂點的三角形與△OBC相似，則點P的坐標是

（

16

3

，

32

9

）或（7，

14

3

）或（1，

2

3

）

．

Answer 1

分析：（1）把點E的坐標代入直線解析式，計算即可求出k值；
（2）設點P的橫坐標為x，根據直線解析式表示出點P，根據拋物線解析式表示出點B，根據兩直線平行，內錯角相等可得∠BDP=∠POC，然后根據∠BDP的正切值求出BP與BD的比值，根據點B的坐標求出∠BOC的正切值，再分①當∠BDP=∠BOC時，兩三角形相似，②∠BDP與∠BOC互余時，∠BDP=∠OBC，兩三角形相似，兩三角形相似，再根據相似三角形對應邊成比例列出比例式求解即可．

解答：解：（1）∵直線y=kx經過點E（

8

3

，

16

9

），
∴

8

3

k=

16

9

，
解得k=

2

3

；

（2）由（1）可知直線解析式為y=

2

3

x，
設點P的橫坐標為x，則點P（x，

2

3

x），B（x，-

1

2

x²+2x），
∵BD∥x軸，
∴∠BDP=∠POC，
∴tan∠BDP=tan∠POC=

2

3

，
即

BP

BD

=

2

3

，
又∠DBP=∠BCO=90°，
①當∠BDP=∠BOC時，兩三角形相似，
所以，

BC

OC

=

BP

BD

，
即

|- 1 2 x2+2x|

x

=

2

3

，
整理得，|x-4|=

4

3

，
所以，x-4=

4

3

或x-4=-

4

3

，
解得x=

16

3

或x=

8

3

，
當x=

16

3

時，y=

2

3

x=

2

3

×

16

3

=

32

9

，
當x=

8

3

時，y=

2

3

x=

2

3

×

8

3

=

16

9

，此時點B、P重合，△BPD不存在，
所以，點P（

16

3

，

32

9

）；
②∠BDP與∠BOC互余時，∠BDP=∠OBC，兩三角形相似，
cot∠BOC=tan∠BDP=

2

3

，
所以，

OC

BC

=

BP

BD

，
即

x

|- 1 2 x2+2x|

=

2

3

，
整理得，|x-4|=3，
所以，x-4=3或x-4=-3，
解得x=7或x=1，
當x=7時，y=

2

3

x=

2

3

×7=

14

3

，
當x=1時，y=

2

3

x=

2

3

×1=

2

3

，
所以，點P（7，

14

3

）或（1，

2

3

），
綜上所述，點P的坐標是（

16

3

，

32

9

）或（7，

14

3

）或（1，

2

3

）．
故答案為：（1）

2

3

；（2）（

16

3

，

32

9

）或（7，

14

3

）或（1，

2

3

）．

點評：本題是對二次函數的綜合考查，主要涉及待定系數法求一次函數解析式，相似三角形對應邊成比例，（2）要注意分情況討論求解．