Question

如圖，已知Rt△AOB在平面直角坐標(biāo)系中，∠AOB=90°，∠BAO=30°，且A的坐標(biāo)為（3，0），⊙C的圓心坐標(biāo)為（-1，0），半徑為1，若D是⊙C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段DA與y軸交與點(diǎn)E．求：
（1）過點(diǎn)A、B、C的二次函數(shù)關(guān)系式；
（2）求△ABE面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)∠AOB=90°，∠BAO=30°，且A的坐標(biāo)為（3，0）求出B點(diǎn)坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出過點(diǎn)A、B、C的二次函數(shù)關(guān)系式即可；
（2）由題意可得當(dāng)⊙C與AD相切時(shí)，△ABE面積最大，然后連接CD，由切線的性質(zhì)，根據(jù)勾股定理，可求得AD的長(zhǎng)，易證得△AOE∽△ADC，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，易求得OE的長(zhǎng)，繼而求得△ABE面積的最大值．

解答：解：（1）∵Rt△AOB在平面直角坐標(biāo)系中，∠AOB=90°，∠BAO=30°，且A的坐標(biāo)為（3，0），
∴B（0，

3

），
設(shè)過A、B、C三點(diǎn)的函數(shù)關(guān)系式為y=a（x+1）（x-3），把點(diǎn)B（0，

3

）代入得，
∴

3

=a×1×（-3），解得a=-

3

3

，
∴過點(diǎn)A、B、C的二次函數(shù)關(guān)系式為：y=-

3

3

（x+1）（x-3），即y=-

3

3

x²+

2 3

3

x+

3

；

（2）∵△ABE的高OA是定值，
∴BE越長(zhǎng)，則△ABE的面積越大，
∴當(dāng)⊙C與AD相切時(shí)，△ABE面積最大，連接CD，
則∠CDA=90°，
∵A（3，0），B（0，

3

），⊙C的圓心為點(diǎn)C（-1，0），半徑為1，
∴CD=1，AC=3+1=4，
∴AD=

AC2-CD2

=

42-12

=

15

，
∵∠AOE=∠ADC=90°，∠EAO=∠CAD，
∴△AOE∽△ADC，
∴

OA

AD

=

OE

CD

，

3

15

=

OE

1

，解得OE=

15

5

，
∴BE=OB+OE=

3

+

15

5

，
∴S_△ABE最大=

1

2

BE•OA=

1

2

×（

3

+

15

5

）×3=

3 3

2

+

3 15

10

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到切線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法．