Question

（2012•溫州模擬）△ABC中，∠A=90°，點D在線段BC上（端點B除外），∠EDB=

1

2

∠C，BE⊥DE于點E，DE與AB相交于點F．
（1）當AB=AC時（如圖1）
①∠EBF=

22.5

°；
②小明在探究過程中發現，線段FD與BE始終保持一種特殊的數量關系，請你猜想這個關系，并利用所學知識證明猜想的正確性；
（2）探究：
當AB=kAC時（k＞0，如圖2），用含k的式子表示線段FD與BE之間的數量關系，請直接寫出結果．

Answer 1

分析：（1）①根據題意可判斷△ABC為等腰直角三角形，據此即可推斷∠C=45°，進而可知∠EDB=22.5°．然后求出∠EBF的度數．
②根據題意證明△BEF∽△DEB，然后利用相似三角形的性質，得到BE與FD的數量關系．
（2）首先證明△GBN∽△FDN，利用三角形相似的性質得到BE與FD的數量關系．

解答：解：（1）①∵AB=AC∠A=90°
∴∠ABC=∠C=45°
∵∠EDB=

1

2

∠C
∴∠EDB=22.5°
∵BE⊥DE
∴∠EBD=67.5°
∴∠EBF=67.5°-45°=22.5°，
故答案為：22.5；
②在△BEF和△DEB中
∵∠E=∠A=90°
∠EBF=∠EDB=22.5°
∴△BEF∽△DEB
如圖：作BG平分∠ABC，交DE于G點，
∴BG=GD△BEG是等腰直角三角形
設EF=x，BE=y，
則：BG=GD=

2

y，
FD=

2

y+y-x，
∵△BEF∽△DEB
∴

x

y

=

y

y+ 2 y

，
得：x=（

2

-1）y，
∴FD=2BE；
（2）過點D作DG∥AC，交BE的延長線于點G，與BA交于點N，
∵DG∥AC，
∴∠GDB=∠C，
∵∠EDB=

1

2

∠C，
∴∠EDB=∠GDE，
∵BE⊥DE，
∴∠BED=∠DEG，
DE=DE，
∴△DEG≌△DEB，
∴BE=

1

2

GB，∠BND=∠GNB=90°，∠EBF=∠NDF，
∴△GBN∽△FDN，
∴

GB

FD

=

NB

ND

，即

BE

FD

=

BN

2DN

，
又∵DG∥AC，
∴△BND∽△BAC，
∴

BN

AB

=

DN

CA

，
即

BN

DN

=

AB

AC

=k，
∴

BE

FD

=

k

2

，
∴FD=

2

k

BE．

點評：本題考查的是相似三角形的判定與性質，（1）利用等腰直角三角形的性質進行判定和計算．（2）結合圖形利用三角函數和相似三角形進行計算求出線段間的關系．