Question

如圖，在直角梯形紙片ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，將紙片沿過點A的直線折疊，使點B與點D重合，折痕為AG．連接DG并展開紙片．
（1）判斷四邊形ABGD的形狀并說明你的理由；
（2）連接BD，交AG于點E，作∠BAG的平分線，交BD于點F，求證：EF+AG=AB．

Answer 1

【答案】分析：由已知可得四邊形ABGD是矩形，又因為AB=AD，所以四邊形ABGD是正方形；過點F作FM⊥AB于點M，在正方形ABGD中，AG⊥BD于點E，則AE=AG，利用HL判定Rt△AMF≌Rt△AEF從而得到AM=AE，又知∠MFB=∠ABF=45°．所以MF=MB=EF，所以EF+AG=MB+AE=MB+AM=AB．
解答：解：（1）四邊形ABGD是正方形．
∵∠ABC=90°，AD∥BC，∴∠BAD=90°．
由沿AG折疊后△ABG與△ADG重合，知AB=AD，∠ADG=90°．
∴四邊形ABGD是矩形，且鄰邊AB，AD相等．
∴四邊形ABGD是正方形；（4分）

（2）證明：過點F作FM⊥AB于點M，在正方形ABGD中，AG⊥BD于點E，
∴AE=AG，∠ABD=∠GBD=45°．（6分）
∵AF平分∠BAG，∴EF=MF．（1分）
又∵AF=AF，∴Rt△AMF≌Rt△AEF，∴AE=AM（8分）（1分）
∠MFB=∠ABF=45°．∴MF=MB，∴MB=EF．
∴EF+AG=MB+AE=MB+AM=AB．（10分）
點評：此題主要考查學生對全等三角形的判定及正方形的判定的理解及運用．