Question

已知x、y是實數且滿足x²+xy+y²-2=0，設M=x²-xy+y²，則M的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：把原式的xy變為2xy-xy，根據完全平方公式特點化簡，然后由完全平方式恒大于等于0，得到xy的范圍；再把原式中的xy變為-2xy+3xy，同理得到xy的另一個范圍，求出兩范圍的公共部分，然后利用不等式的基本性質求出2-2xy的范圍，最后利用已知x²+xy+y²-2=0表示出x²+y²，代入到M中得到M=2-2xy，2-2xy的范圍即為M的范圍．

解答：解：由x²+xy+y²-2=0得：x²+2xy+y²-2-xy=0，
即（x+y）²=2+xy≥0，所以xy≥-2；
由x²+xy+y²-2=0得：x²-2xy+y²-2+3xy=0，
即（x-y）²=2-3xy≥0，所以xy≤

2

3

，
∴-2≤xy≤

2

3

，
∴不等式兩邊同時乘以-2得：
（-2）×（-2）≥-2xy≥

2

3

×（-2），即-

4

3

≤-2xy≤4，
兩邊同時加上2得：-

4

3

+2≤2-2xy≤4+2，即

2

3

≤2-2xy≤6，
∵x²+xy+y²-2=0，∴x²+y²=2-xy，
∴M=x²-xy+y²=2-2xy，
則M的取值范圍是

2

3

≤M≤6．
故答案為：

2

3

≤M≤6

點評：此題考查了完全平方公式，以及不等式的基本性質，解題時技巧性比較強，對已知的式子進行了三次恒等變形，前兩次利用拆項法拼湊完全平方式，最后一次變形后整體代入確定出M關于xy的式子，從而求出M的范圍．要求學生熟練掌握完全平方公式的結構特點：兩數的平方和加上或減去它們乘積的2倍等于兩數和或差的平方．