Question

如圖，排球運動員甲站在點O處練習發球，球網與O點的水平距離為9m，高度為2.43m，球場的邊界距O點的水平距離為18m．若把球看成點，其運行的高度y（m）與運行的水平距離x（m）是二次函數關系．以O為原點建立平面直角坐標系．
（1）在某一次發球時，甲將球從O點正上方2m的A處發出，已知球的最大飛行高度為2.6m，此時距O點的水平距離為6m．
①求拋物線的解析式．
②球能否越過球網？球會不會出界？請說明理由．
（2）若球的最大飛行高度時距O點的水平距離6m不變，要使球一定能越過球網，又不出邊界，求二次函數中二次項系數的最大值．

Answer 1

分析：（1）①設拋物線的解析式為y=a（x-6）²+2.6，把點（0，2）代入即可得出結論；
②把x=9和x=18時代入解析式就可以求出y的值與2.43和0比較就可以得出結論；
（2）設拋物線的解析式為y=a（x-6）²+h，當x=0，y=2時代入解析式就可以表示出a的值，當x=9和x=18時建立不等式組就可以求出h的取值范圍就可以求出a的范圍．

解答：解：（1）①設拋物線的解析式為y=a（x-6）²+2.6，由題意，得
2=a（0-6）²+2.6，
解得：a=-

1

60

，
∴拋物線的解析式為：y=-

1

60

（x-6）²+2.6；
②x=9時，
y=-

1

60

（9-6）²+2.6=2.45．
∵2.45＞2.43，
∴球能越過球網；
當x=18時，
y=-

1

60

（18-6）²+2.6，
解得：y=0.2＞0，
∴球會出界；

（3）設拋物線的解析式為y=a（x-6）²+h，由題意得：2=a（0-6）²+h，
∴a=

2-h

36

．
∴y=

2-h

36

（x-6）²+h，
∴當x=9時，y=

2-h

36

（9-6）²+h=

2+3h

4

＞2.43，
當x=18時，y=

2-h

36

（18-6）²+h=8-3h≤0，
∴

2+3h 4 ＞2.43 8-3h≤0

，
解得：h≥

8

3

，
當h=

8

3

時，a最大，
∴二次項系數的最大值為：

2- 8 3

36

=-

1

54

．

點評：本題主要考查了二次函數的應用，求范圍的問題，可利用臨界點法求出自變量的值，再根據題意確定范圍．