Question

拋物線的頂點為P，與x軸交于A、B兩點，如果△ABP是正三角形，那么，k=_________．

 

Answer 1

【答案】

3

【解析】

試題分析：根據拋物線y=x²-k的頂點為P，可直接求出P點的坐標，進而得出OP的長度，又因為△ABP是正三角形，得出∠OPB=30°，利用銳角三角函數即可求出OB的長度，得出B點的坐標，代入二次函數解析式即可求出k的值．

∵拋物線y=x²-k的頂點為P，

∴P點的坐標為：（0，-k），∴PO=K，

∵拋物線y=x²-k與x軸交于A、B兩點，且△ABP是正三角形，

∴OA=OB，∠OPB=30°，

∴tan30°=，

∴，

∴點B的坐標為：（，0），點B在拋物線y=x²-k上，

∴將B點代入y=x²-k，得：

0=（）²-k，

整理得：，

解方程得：k₁=0（不合題意舍去），k₂=3．

故答案為：3．

考點：此題主要考查了二次函數頂點坐標的求法

點評：解決此類題目要熟練掌握二次函數頂點坐標的求法，以及正三角形的性質和銳角三角函數求值問題等知識，求出A或B點的坐標進而代入二次函數解析式是解決問題的關鍵．