Question

如圖二次函數y=x²+bx+c的圖象經過A（-1，0）和B（3，0）兩點，且交y軸于點C．過點C作CD∥x軸交拋物線于點D，點M為此拋物線的頂點
（1）試確定b、c的值；
（2）求二次函數的對稱軸和頂點坐標；
（3）試確定△MCD的形狀．（直接寫出結果，不用證明）

Answer 1

分析：（1）由二次函數y=x²+bx+c的圖象經過A（-1，0）和B（3，0）兩點，即可將此兩點的坐標代入函數解析式，即可得到方程組

1-b+c=0 9+3b+c=0

，解此方程組即可求得b、c的值；
（2）由（1）即可求得此二次函數的解析式，然后利用配方法求得此二次函數的頂點式，即可求得其對稱軸和頂點坐標；
（3）根據題意，首先求得點C，D，M的坐標，即可求得CD，CM，DM的長，然后由勾股定理的逆定理，即可確定△MCD是直角三角形，又由CM=DM，即可得△MCD的形狀是等腰直角三角形．

解答：解：（1）∵二次函數y=x²+bx+c的圖象經過A（-1，0）和B（3，0）兩點，
∴

1-b+c=0 9+3b+c=0

，
解得：b=-2，c=-3；

（2）∴此二次函數的解析式為：y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴頂點坐標（1，-4），對稱軸為x=1；

（3）等腰直角三角形．
理由：∵C（0，-3），
∴點D（2，-3），
∵M（1，-4），
∴CD=2，CM=

2

，DM=

2

，
∴CD²=CM²+DM²，CM=DM，
∴△MCD的形狀為等腰直角三角形．

點評：此題考查了待定系數法求二次函數的解析式，二次函數頂點坐標與對稱軸的求解方法以及勾股定理的逆定理等知識．此題綜合性較強，難度適中，解題的關鍵是方程思想與數形結合思想的應用．