Question

【題目】如圖，△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于點D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于點E，與CD交于F，H是BC邊的中點，連接DH與BE交于點G，則下列結論：

①BF＝AC；②∠A＝∠DGE；③CE＜BG；④S△ADC＝S四邊形CEGH；⑤DGAE＝DCEF中，正確結論的個數是（　　）

A.2B.3C.4D.5

Answer 1

【答案】C

【解析】

證明△BDF≌△CDA可判斷①；

由利用三角形的外角的性質及四邊形的內角和定理可判斷②；

連接利用DH是BC的垂直平分線，從而可判斷③；

過G作GJ⊥AB于J，過F作FMBC于M，連接GM，設 分別計算三角形ADC的面積和四邊形CEGH的面積可判斷④；

由△BDF∽△CEF，可判斷⑤．

解：∵CD⊥AB，BF⊥AC，

∴∠BEC=∠BDC=∠ADC=90°，

∵∠ABC=45°，

∴∠DCB=45°=∠ABC，

∴BD=DC，

∵∠BDC=∠CEF=90°，∠DFB=∠EFC，

∴由三角形內角和定理得：∠DBF=∠ACD，

∵在△BDF和△CDA中，

∴△BDF≌△CDA（ASA），

∴BF=AC，∠BFD=∠A，∴①正確；

∵∠DFB=∠FBC+∠FCB=∠FBC+45°，∠DGF=∠GBD+45°，∠FBC=∠GBD，

∴∠DFG=∠DGF，

∴∠A=∠DGE，故②正確，

如圖，連接

∵∠ABC=45°，∠BDC=90°，

∴△BDC是等腰直角三角形，

∵H是BC邊的中點，

∴DH垂直平分BC，

故③正確；

過G作GJ⊥AB于J，過F作FMBC于M，連接GM，

平分

四邊形DGMF是菱形，

設

則

四邊形CFGH的面積＝梯形GHMF的面積＋的面積

S△ADCS四邊形CEGH，故④錯誤．

∵△BDF∽△CEF，

∴，

∵BD=DC，CE=AE，DF=DG，

∴

∴DGAE=DCEF，故⑤正確．

故選：C．