Question

如圖，Rt△ABC中，M為斜邊AB上一點，且MB＝MC＝AC＝8cm，平行于BC的直線l從BC的位置出發以每秒1cm的速度向上平移，運動到經過點M時停止. 直線l分別交線段MB、MC、AC于點D、E、P，以DE為邊向下作等邊△DEF，設△DEF與△MBC重疊部分的面積為S（cm²），直線l的運動時間為t（秒）．

（1）求邊BC的長度；

（2）求S與t的函數關系式；

（3）在整個運動過程中，是否存在這樣的時刻t，使得以P、C、F為頂點的三角形為等腰三角形？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．

（4）在整個運動過程中，是否存在這樣的時刻t，使得以點D為圓心、BD為半徑的圓與直線EF相切？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

1）證得M為斜邊中點，∠B＝30º，BC＝8………………………(1分)

（2）由題意，若點F恰好落在BC上，MF＝4(4－t)＝4，得t＝3.

當0＜t≤3時，S＝－t²＋8t…………………………………………………(3分)

當3＜t≤4時，S＝3t²－24t＋48…………………………………………(5分)

（3）當0＜t≤3時，∠FCP≥90º，且顯然FC＞CP，故△PCF不可能為等腰三角形…(6分)

     當3＜t≤4時，若△PCF為等腰三角形，也只能FC＝FP，＝3(4－t)，得t＝……(8分)

（4）若相切，則2t＝3(4－t)，解得t＝