Question

設函數y=kx²+（2k+1）x+2（k為任意實數）
（1）求證：不論k為何值，該函數圖象都過點（0，2）和（-2，0）；
（2）若該函數圖象與x軸只有一個交點，求k的值．

Answer 1

分析：（1）將（0，2）和（-2，0）分別代入函數解析式，若等式成立，則不論k為何值，該函數圖象都過點（0，2）和（-2，0）；
（2）分兩種情況討論，①k=0時，函數為一次函數，此時函數圖象與x軸只有一個交點，
②k≠0時，函數為二次函數，若圖象與x軸只有一個交點，則判別式=0．

解答：解：（1）把x=0代入y=kx²+（2k+1）x+2，得y=2；  
把x=-2代入y=kx²+（2k+1）x+2，得y=0；
不同解法只要正確均給分．

（2）①當k=0時，函數為一次函數y=x+2，顯然與x軸只有一個交點；
②當k≠0時，函數為二次函數，要使與x軸只有一個交點，則（2k+1）²-4k×2=4k²-4k+1=（2k-1）²=0；
∴此時k=\frac{1}{2}；
綜上所述，當k=0或\frac{1}{2}時，函數y=kx²+（2k+1）x+2與x軸只有一個交點．

點評：本題考查了拋物線與x軸的交點與判別式的關系及二次函數圖象上點的坐標特征，解答時要注意分類討論．