Question

已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點D是AB的中點，點E是AB邊上一點．
（1）求證：△ACD≌△BCD；
（2）求∠A；
（3）直線BF垂直于直線CE于點F，交CD于點G（如圖1），求證：AE=CG；
（4）直線AH垂直于直線CE，垂足為點H，交CD的延長線于點M（如圖2），找出圖中與BE相等的線段，并證明．

Answer 1

分析：（1）通過全等三角形的判定定理SSS證得△ACD≌△BCD；
（2）由等腰直角三角形的性質可以求得∠A=45°；
（3）首先根據點D是AB中點，∠ACB=90°，可得出∠ACD=∠BCD=45°，判斷出△AEC≌△CGB，即可得出AE=CG；
（4）根據垂直的定義得出∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，再根據AC=BC，∠ACM=∠CBE=45°，得出△BCE≌△CAM，進而證明出BE=CM．

解答：（1）證明：如圖，∵D是AB的中點，
∴AD=BD．
∵在△ACD與△BCD中，

AC=BC AD=BD CD=CD

，
∴△ACD≌△BCD（SSS）；

（2）解：如圖，∵在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠A=∠ABC，∠A+∠ABC=90°，
∴∠A=∠ABC=45°，即∠A=45°；

（3）證明：如圖1，∵點D是AB中點，AC=BC，
∠ACB=90°，
∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠CAD=∠CBD=45°，
∴∠CAE=∠BCG，
又∵BF⊥CE，
∴∠CBG+∠BCF=90°，
又∵∠ACE+∠BCF=90°，
∴∠ACE=∠CBG，
在△AEC和△CGB中，

∠CAE=∠BCG  AC=BC ∠ACE=∠CBG

，
∴△AEC≌△CGB（ASA），
∴AE=CG；

（4）解：BE=CM．理由如下：
∵CH⊥HM，CD⊥ED，
∴∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，
∴∠CMA=∠BEC，
又∵∠ACM=∠CBE=45°，
在△BCE和△CAM中，

∠BEC=∠CMA ∠ACM=∠CBE BC=AC

，
∴△BCE≌△CAM（AAS），
∴BE=CM．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的性質．全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當的判定條件．