Question

如圖1，一架4米長的梯子AB斜靠在與地面OM垂直的墻ON上，梯子AB與地面OM的傾斜角α為60°．
（1）求AO與BO的長；
（2）若梯子頂端A沿NO下滑，如圖2，設A點下滑至C點，B點向右滑行至D點．若AC：BD=2：3，試求梯子頂端A沿NO
下滑多少米；
（3）若梯子頂端A沿NO下滑，如圖3，設A點下滑至C點，B點向右滑行至D點，梯子AB的中點P，也隨之運動到點Q，若∠POQ=15°，試求AC的長．

Answer 1

解：（1）Rt△AOB中，∠AOB=90°α=60°∠OAB=30°
AB=4米 OB=2米 AO=2米 …（2分）

（2）設AC=2x（米） BD=3x（米）CD=4米
Rt△COD中…（2分）
解得 （舍去）AC=2x=（米）…（3分）
梯子的頂端沿NO下滑米…（1分）

（3）∵P、Q分別是Rt△AOB和Rt△COD斜邊上的中點
∴PO=PA，QO=QC
∴∠PAO=∠AOP∠QCO=∠COQ…（2分）
∴∠QCO-∠PAO=∠POQ=15°
∵∠PAO=30°
∴∠QCO=45°…（2分）
CO=CD×cos45°=，
AC=AO-CO=（米）．
分析：（1）在直角△AOB中，已知斜邊AB，和銳角∠ABO，即可根據正弦和余弦的定義求得OA，OB的長；
（2）利用AC：BD=2：3，設AC=2x（米） BD=3x（米）CD=4米，利用勾股定理列出關系式即可求得下滑的長度；
（3）根據P、Q分別是Rt△AOB和Rt△COD斜邊上的中線求得PO=PA、QO=QC，從而得到∠PAO=∠AOP∠QCO=∠COQ，然后求得QCO=45°，利用解直角三角形求得AC的長即可．
點評：本題考查了解直角三角形的應用，此題的妙處在于恰到好處地利用了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，從而求出∠QCO=45°，讓我們感受到了數學題真的很有意思，做數學題是一種享受．