Question

如圖（1），一等腰直角三角尺GEF的兩條直角邊與正方形ABCD的兩條邊分別重合在一起，現正方形ABCD保持不動，將三角尺GEF繞斜邊EF的中點O（點O也是BD的中點）按順時針方向旋轉．

（1）如圖（2），當EF與AB相交于點M，GF與BD相交于點N時，通過觀察或測量BM，FN的長度，猜想BM、FN滿足的數量關系，并證明你的猜想：

（2）若三角尺GEF旋轉到如圖（3）所示的位置時，線段FE的延長線與AB的延長線相交于點M，線段BD的延長線與GF的延長線相交于點N，此時，（1）中的猜想還成立嗎?若成立，請證明：若不成立，請說明理由．

Answer 1

解析：（1）BM=FN．   

    證明：因為△GEF是等腰直角三角形，四邊形ABCD是正方形，所以∠ABD=∠F=45°，OB=OF，又∠BOM=∠FON，所以△OBM≌△OFN，則BM=FM   

    （2）BM=FN仍然成立．

  理由：因為△GEF是等腰直角三角形，四邊形ABCD是正方形，所以∠DBA=∠GFE=45°，OB=OF．所以∠MBO=∠NFO=135°．

    又∠MOB=∠NOF，所以△OBM≌△OFN   

    所以BM=FN．