Question

（2013•北京）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（0°＜α＜60°），將線段BC繞點B逆時針旋轉60°得到線段BD．
（1）如圖1，直接寫出∠ABD的大小（用含α的式子表示）；
（2）如圖2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判斷△ABE的形狀并加以證明；
（3）在（2）的條件下，連接DE，若∠DEC=45°，求α的值．

Answer 1

分析：（1）求出∠ABC的度數(shù)，即可求出答案；
（2）連接AD，CD，ED，根據(jù)旋轉性質得出BC=BD，∠DBC=60°，求出∠ABD=∠EBC=30°-

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α，且△BCD為等邊三角形，證△ABD≌△ACD，推出∠BAD=∠CAD=

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∠BAC=

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α，求出∠BEC=

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α=∠BAD，證△ABD≌△EBC，推出AB=BE即可；
（3）求出∠DCE=90°，△DEC為等腰直角三角形，推出DC=CE=BC，求出∠EBC=15°，得出方程30°-

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α=15°，求出即可．

解答：解：（1）∵AB=AC，∠A=α，
∴∠ABC=∠ACB=

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（180°-∠A）=90°-

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α，
∵∠ABD=∠ABC-∠DBC，∠DBC=60°，
即∠ABD=30°-

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α；

（2）△ABE是等邊三角形，
證明：連接AD，CD，ED，
∵線段BC繞B逆時針旋轉60°得到線段BD，
則BC=BD，∠DBC=60°，
∵∠ABE=60°，
∴∠ABD=60°-∠DBE=∠EBC=30°-

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α，且△BCD為等邊三角形，
在△ABD與△ACD中

AB=AC AD=AD BD=CD

∴△ABD≌△ACD，
∴∠BAD=∠CAD=

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∠BAC=

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α，
∵∠BCE=150°，
∴∠BEC=180°-（30°-

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α）-150°=

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α=∠BAD，
在△ABD和△EBC中

∠BEC=∠BAD ∠EBC=∠ABD BC=BD

∴△ABD≌△EBC，
∴AB=BE，
∴△ABE是等邊三角形；

（3）∵∠BCD=60°，∠BCE=150°，
∴∠DCE=150°-60°=90°，
∵∠DEC=45°，
∴△DEC為等腰直角三角形，
∴DC=CE=BC，
∵∠BCE=150°，
∴∠EBC=

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（180°-150°）=15°，
∵∠EBC=30°-

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α=15°，
∴α=30°．

點評：本題考查了全等三角形的性質和判定，等邊三角形的性質和判定，等腰直角三角形的判定和性質的應用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的性質是全等三角形的對應邊相等，對應角相等．