Question

（2007•開封）已知：O是坐標原點，P（m，n）（m＞0）是函數y=（k＞0）上的點，過點P作直線PA⊥OP于P，直線PA與x軸的正半軸交于點A（a，0）（a＞m）．設△OPA的面積為s，且s=1+．
（1）當n=1時，求點A的坐標；
（2）若OP=AP，求k的值；
（3）設n是小于20的整數，且k≠，求OP²的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據三角形的面積公式得到s=a•n．而s=1+，把n=1代入就可以得到a的值．
（2）易證△OPA是等腰直角三角形，得到m=n=，根據三角形的面積S=•an，就可以解得k的值．
（3）易證△OPQ∽△OAP，根據相似三角形面積的比等于相似比的平方，就可以得到關于k，n的方程，從而求出k，n的值．得到OP的值．
解答：解：過點P作PQ⊥x軸于Q，則PQ=n，OQ=m，
（1）當n=1時，s=，（1分）
∴a==．（3分）

（2）解法一：∵OP=AP，PA⊥OP，
∴△OPA是等腰直角三角形．（4分）
∴m=n=．（5分）
∴1+=•an．
即n⁴-4n²+4=0，（6分）
∴k²-4k+4=0，
∴k=2．（7分）
解法二：∵OP=AP，PA⊥OP，
∴△OPA是等腰直角三角形．（4分）
∴m=n．（5分）
設△OPQ的面積為s₁
則：s₁=∴•mn=（1+），
即：n⁴-4n²+4=0，（6分）
∴k²-4k+4=0，
∴k=2．（7分）

（3）解法一：∵PA⊥OP，PQ⊥OA，
∴△OPQ∽△OAP．
設：△OPQ的面積為s₁，則=（8分）
即：=化簡得：
2n⁴+2k²-kn⁴-4k=0（9分）
（k-2）（2k-n⁴）=0，
∴k=2或k=（舍去），（10分）
∴當n是小于20的整數時，k=2．
∵OP²=n²+m²=n²+又m＞0，k=2，
∴n是大于0且小于20的整數．
當n=1時，OP²=5，
當n=2時，OP²=5，
當n=3時，OP²=3²+=9+=，（11分）
當n是大于3且小于20的整數時，
即當n=4、5、6…19時，OP²的值分別是：
4²+、5²+、6²+…19²+，
∵19²+＞18²+＞3²+＞5，（12分）
∴OP²的最小值是5．（13分）
點評：本題是函數與三角形相結合的題目，題目的難度較大．