Question

問題：如圖（1），一圓柱的底面半徑為5分米，高AB為5分米，BC是底面直徑，求一只螞蟻從A點出發沿圓柱表面爬行到點C的最短路線．小明設計了兩條路線：
路線1：側面展開圖中的線段AC．如圖（2）所示：設路線1的長度為l₁，則l₁²=AC²=AB²+BC²=5²+（5π）²=25+25π²
路線2：高線AB+底面直徑BC．如圖（1）所示：設路線2的長度為l₂，則l₂²=（AB+BC）²=（5+10）²=225，∵l₁²-l₂²＞0，
∴l₁²＞l₂²，∴l₁＞l₂，所以要選擇路線2較短．

（1）小明對上述結論有些疑惑，于是他把條件改成：“圓柱的底面半徑為1分米，高AB為5分米”繼續按前面的路線進行計算．請你幫小明完成下面的計算：
路線1：l₁²=AC²=______；
路線2：l₂²=（AB+BC）²=______．∴l₁______l₂ （ 填＞或＜），所以應選擇路線______（填1或2）較短．
（2）請你幫小明繼續研究：在一般情況下，當圓柱的底面半徑為r，高為h時，應如何選擇上面的兩條路線才能使螞蟻從點A出發沿圓柱表面爬行到C點的路線最短．

Answer 1

解：（1）路線1：l₁²=AC²=25+π²；
路線2：l₂²=（AB+BC）²=49．
∵l₁²＜l₂²，
∴l₁＜l₂，
∴選擇路線1較短
（2）l₁²=AC²=AB²+²=h²+（πr）²，
l₂²=（AB+BC）²=（h+2r）²，
l₁²-l₂²=h²+（πr）²-（h+2r）²=r（π²r-4r-4h）=r[（π²-4）r-4h]；
r恒大于0，只需看后面的式子即可．
當時，l₁²=l₂²；
當r＞時，l₁²＞l₂²；
當r＜時，l₁²＜l₂²．
根據r的取值，則可知當r＞時，選擇l₂，當r＜時，選擇l₁，當r=時，選擇l₁與l₂．
故答案為：25+π²；49，＜，1．
分析：（1）根據勾股定理易得路線1：l₁²=AC²=高²+底面周長一半²；路線2：l₂²=（高+底面直徑）²；讓兩個平方比較，平方大的，底數就大．
（2）根據（1）得到的結論讓兩個代數式分三種情況進行比較即可．
點評：此題考查了平面展開-最短路徑問題，比較兩個數的大小，有時比較兩個數的平方比較簡便，比較兩個數的平方，通常讓這兩個數的平方相減．注意運用類比的方法做類型題．