Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經過點A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）．
（1）試求出拋物線的解析式；
（2）問：在拋物線的對稱軸上是否存在一個點Q，使得△QAC的周長最小，試求出△QAC的周長的最小值，并求出點Q的坐標；
（3）現有一個動點P從拋物線的頂點T出發，在對稱軸上以1個單位長度每秒的速度向y軸的正方向運動，試問，經過幾秒后，△PAC是等腰三角形？

Answer 1

分析：（1）因為拋物線經過A、B、C三點，所以用待定系數法設出二次函數的一般式即可求出其解析式．
（2）根據（1）中所得二次函數的解析式可求出其對稱軸直線，由二次函數圖象上點的坐標特點可知A、B兩點關于對稱軸直線對稱，連接BC，根據三點共線時距離最短可知BC與對稱軸的交點即為Q點．
根據B、C兩點的坐標可用待定系數法求出B、C兩點所在直線的解析式，在與對稱軸直線組成方程組，即可求出Q點的坐標．
利用兩點間的距離公式即可求出BC的長即△QAC的周長的最小值．
（3）設t秒后△PAC是等腰三角形．利用t表示出P點坐標，根據兩點間距離公式，分①PA=CA；②PC=PA；③CP=CA三種情況解答．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經過點A（1，0）、B（3，0）、C（0，3），
∴把此三點代入得

a+b+c=0 9a+3b+c=0 c=3

，
解得

a=1 b=-4 c=3

，
故拋物線的解析式為，y=x²-4x+3；

（2）點A關于對稱軸的對稱點即為點B，
連接B、C，交x=2于點Q，
可得直線BC：
y=-x+3，與對稱軸交點Q（2，1），BC=3

2

，
可得△QAC周長為

10

+3

2

．

（3）設t秒后△PAC是等腰三角形，
因為P在對稱軸上，
所以P點坐標為（2，t-1）于是
①當PA=CA時；根據勾股定理得：（2-1）²+（t-1）²=1²+3²；
解得t=4秒或t=-2秒（負值舍去）．
②PC=PA時；根據勾股定理得：2²+（t-4）²=（2-1）²+（t-1）²；
解得t=3秒；
③CP=CA時；根據勾股定理得：2²+（t-4）²=1²+3²；
解得t=（4+

6

）秒或t=（4-

6

）秒
所以經過4秒，或3秒，或4+

6

秒，或4-

6

秒時，△PAC是等腰三角形．

點評：此題主要考查了用待定系數法求二次函數解析式，以及利用函數圖象和圖象上點的性質判斷符合某一條件的點是否存在，是一道開放性題目，有利于培養同學們的發散思維能力．