Question

（2007•臨沂）如圖，已知點A，B，C，D均在已知圓上，AD∥BC，AC平分∠BCD，∠ADC=120°，四邊形ABCD的周長為10cm．
（1）求此圓的半徑；
（2）求圖中陰影部分的面積（其中л≈3，≈1.7）．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據平行線的性質以及角平分線的定義，得∠CAD=∠ACD=∠ACB=30°．再根據圓周角定理的推論得到弧AB=弧AD=弧CD，則AB=AD=CD，同時根據角的度數可以求得∠BAC=90°，根據直角三角形30度所對的直角邊是斜邊的一半，求得BC=2AD，再根據四邊形的周長列方程計算；
（2）由（1）可以發現BC是直徑，設其圓心是O，連接OA，OD，根據兩條平行線間的距離處處相等，得到三角形AOD的面積等于三角形ACD的面積，則陰影部分的面積等于扇形OAD的面積減去三角形AOD的面積．
解答：解：（1）∵AD∥BC，∠ADC=120°，
∴∠BCD=60°（2分）
又∵AC平分∠BCD，
∴∠DAC=∠ACB=∠DCA=30度．（4分）
∴，∠B=60度．
∴∠BAC=90°，（6分）
∴BC是圓的直徑，BC=2AB．（7分）
∵四邊形ABCD的周長為10cm，
∴AB=AD=DC=2cm，BC=4cm．
∴此圓的半徑為2cm．（8分）

（2）設BC的中點為O，由（1）可知O即為圓心．
連接OA，OD，過O作OE⊥AD于E．（9分）
在Rt△AOE中，∠AOE=30°，
∴OE=OA•cos30°=cm．
∴S_△AOD==（cm²）．（10分）
∴S_陰影=S_扇形AOD-S_△OAD=-=-≈0.3（cm²）．（12分）
點評：此題中要通過計算角的度數，發現直角三角形和等腰三角形．根據直角三角形的性質和等腰三角形的性質進行計算．尤其是在第二問中，能夠把不規則圖形的面積轉化為構造圖形的面積．