Question

如圖，正方形ABCD的邊長是4，E是AB邊上一點（E不與A、B重合），F是AD的延長線上一點，DF=2BE．四邊形AEGF是句型，其面積y隨BE的長x的變化而變化且構成函數．
（1）求y與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）若上述（1）中是二次函數，請用配方法把它轉化成y=a（x-h）²+k的形式，并指出當x取何值時，y取得最大（或最小）值，該值是多少？
（3）直接寫出拋物線與x軸交點坐標．

Answer 1

分析：（1）表示出AE、AF，然后根據矩形的面積公式列式整理即可得解；
（2）根據配方法整理，然后根據二次函數的最值問題解答；
（3）令y=0，解關于x的一元二次方程即可得到拋物線與x軸的交點坐標．

解答：解：（1）∵正方形ABCD的邊長是4，BE=x，DF=2BE，
∴AE=AB-BE=4-x，AF=AD+DF=4+2x，
∴y=（4-x）（4+2x）=-2x²+4x+16，
∵E不與A、B重合，
∴0＜x＜4，
故y=-2x²+4x+16（0＜x＜4）；

（2）y=-2x²+4x+16=-2（x²-2x+1）+2+16=-2（x-1）²+18，
∴y=-2（x-1）²+18，
∵a=-2＜0，
∴x=1時，y有最大值，最大值為18；

（3）令y=0，則-2x²+4x+16=0，
整理得，2x²-4x-16=0，
解得x₁=-2，x₂=4，
∴拋物線與x軸交點坐標為（-2，0），（4，0）．

點評：本題是二次函數綜合題型，主要利用了二次函數的三種形式，二次函數的最值問題，拋物線與x軸的交點問題，讀懂題目信息并理解“句型”的定義是解題的關鍵．