Question

求最小的自然數，它的各位數字之和等于56，它的最末兩位是56，它本身還能被56整除．

Answer 1

分析：假設所求的這個最小的自然數的前幾位數為a，則這個數可表示為

.

a56

，即100a+56．先根據整除的性質得出a能被14整除，a為偶數，再根據這個數的各位數字之和等于56，它的最末兩位是56，得出a最小為六位數，然后由

.

a56

是最小的自然數，分a的首位數字為1，2，…，依次討論，即可求解．

解答：解：假設所求數的前幾位數為a，則這個數可表示為

.

a56

，即100a+56．
∵

.

a56

-56=

.

a00

，

.

a56

能被56整除，56能被56整除，
∴

.

a00

能被56整除，而

.

a00

=a×100，
設a×100=56k（k為整數），則a×25=14k，
∴a能被14整除，a為偶數．
∵

.

a56

的各位數字之和等于56，最末二位數字之和為5+6=11，而56-11=45，
∴前幾位數字之和為45，
∵99999的各位數字相加為45，而99999不是偶數，
∴a＞99999，a最小為六位數．
如果a的首位數字為1，則滿足數字和為45的偶數只有一個：199998，不能被14整除；如果a的首位數字為2，則滿足數字和為45的偶數從小到大依次為：289998，298998，299898，299988，
其中，可以被14整除的最小的數是：298998，
故所求的數字是：29899856．

點評：本題考查了數的整除性問題，屬于競賽題型，有一定難度．根據整除的性質得出a能被14整除，a為偶數是解題的關鍵．