Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，把矩形COAB繞點C順時針旋轉α角，得到矩形CFED．設FC與AB交于點H，且A（0，4），C（6，0）．
（1）當α=60°時，△CBD的形狀是

 

；
（2）當AH=HC時，①求點H的坐標；②求直線FC的解析式．

Answer 1

分析：（1）首先由旋轉的性質可得兩個條件：①BC=DC，②∠BCD=∠α=60°，顯然所求的三角形是個等邊三角形．
（2）當AH=HC時，可設出AH的長，然后表示出CH、BH的值，從而在Rt△CHB中利用勾股定理求得AH的長，即可得到點H的坐標；然后利用待定系數法可求得直線CF（即直線CH）的解析式．

解答：解：（1）由旋轉的性質知：BC=CD，∠BCD=∠ACF=α；
若α=60°，則∠BCD=60°，故△BCD是等邊三角形．

（2）設AH=HC=x，則：BH=6-x；
在Rt△CHB中，由勾股定理得：（6-x）²+4²=x²，
解得：x=

13

3

；
即AH=HC=

13

3

；
①點H的坐標為（

13

3

，4）．
②設直線CF的解析式為：y=kx+b，則有：

6k+b=0 13 3 k+b=4

，解得

k=- 12 5 b= 72 5

；
故直線CF的解析式為：y=-

12

5

x+

72

5

．

點評：此題較簡單，主要考查了圖形的旋轉變化、等邊三角形的判定、勾股定理以及用待定系數法確定一次函數解析式的方法，難度不大．