Question

如圖，在平面直角坐標系中，O是坐標原點，直線y=3x+9與x軸、y軸分別交于A、C兩點，拋物線經過A、C兩點，與x軸的另一個交點為點B，動點P從點A出發沿AB以每秒3個單位長度的速度向點B運動，動點Q從點B出發沿BC以每秒3個單位長度的速度向點C運動，動點N從點C出發沿CA以每秒個單位長度的速度向點A運動，點P、Q、N同時出發、同時停止，設運動時間為t（0＜t＜5）秒．
（1）求拋物線的解析式；
（2）判斷△ABC的形狀；
（3）以OC為直徑的⊙O′與BC交于點M，求當t為何值時，PM與⊙O′相切？請說明理由；
（4）在點P、Q、N運動的過程中，是否存在△NCQ為直角三角形的情形？若存在，求出相應的t值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據直線y=3x+9求出點A、C的坐標，然后利用待定系數法求二次函數解析式即可；
（2）根據拋物線解析式求出點B的坐標，然后求出AB、BC的長度，即可得到△ABC是等腰三角形；
（3）連接OM，根據直徑所對的圓周角是直角可得∠OMC=90°，從而得到∠OMB=90°，所以∠PMO+∠PMB=90°，根據直角三角形兩銳角互余可得∠POM+∠OBM=90°，再根據切線長定理可得PO=PM，根據等邊對等角的性質可得∠PMO=∠POM，然后求出∠PMB=∠OBM，再根據等角對等邊的性質可得PB=PM，從而得到PO=PB，然后求出AP的長度，再根據點P的速度求解即可；
（4）先根據勾股定理列式求出AC的長度，再根據點Q、N的速度求出CQ、CN的長度，根據∠BAC=∠BCA≠90°，分①∠CNQ=90°時，△CNQ與△AOC相似，根據相似三角形對應邊成比例列式求解；②∠CQN=90°時，△CNQ與△ACO相似，根據相似三角形對應邊成比例列式求解．
解答：解：（1）直線y=3x+9，令x=0，則y=9，
令y=0，則3x+9=0，解得x=-3，
所以，點A（-3，0），C（0，9），
把點A、C的坐標代入拋物線得，，
解得．
所以，拋物線的解析式為y=-x²+x+9；

（2）令y=0，則-x²+x+9=0，
整理得，x²-9x-36=0，
解得x₁=-3，x₂=12，
所以，點B的坐標為（12，0），
所以，AB=12-（-3）=12+3=15，
根據勾股定理，BC==15，
所以，AB=BC，
因此，△ABC等腰三角形；

（3）當t=3s時，PM與⊙O′相切．
理由如下：如圖，連接OM，∵OC是⊙O′的直徑，
∴∠OMC=90°，
∴∠OMB=180°-90°=90°，
∴∠PMO+∠PMB=90°，
∵O′O是⊙O′的半徑，O′O⊥OP，
∴OP是⊙O′的切線，
∵PM與⊙O′相切，
∴PO=PM，
∴∠PMO=∠POM，
在Rt△OBM中，∠POM+∠OBM=90°，
∴∠PMB=∠OBM，
∴PB=PM，
∴PO=PB=OB=×12=6，
∴AP=OA+OP=3+6=9，
∵點P的速度是每秒3個單位長度，
∴t=9÷3=3s；

（4）存在t=或．
理由如下：根據勾股定理，AC===3，
∵點Q的速度是每秒3個單位長度，點N的速度是每秒個單位長度，
∴CQ=BC-BQ=15-3t，CQ₁=t，
根據（2）AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA≠90°，
∴∠CNQ=90°，∠CQN=90°兩種情況討論，
①∠CNQ=90°時，∵∠BAC=∠BCA，∠AOC=∠CNQ=90°，
∴△CNQ∽△AOC，
∴=，
即=，
解得t=，
②∠CQN=90°時，∵∠BAC=∠BCA，∠AOC=∠CQN=90°，
∴△CNQ∽△ACO，
∴=，
即=，
解得t=．
綜上所述，存在t=或，使△NCQ為直角三角形．
點評：本題是二次函數的綜合題型，主要涉及直線與坐標軸的交點的求解，待定系數法求二次函數解析式，勾股定理的應用，直徑所對的圓周角是直角，等腰三角形的判定，切線長定理，相似三角形的判定與性質，（4）要分兩種情況討論．