Question

如圖，在等腰Rt△ABC中，AC=BC，∠ABC的平分線BE交AB邊上的中線CD于點(diǎn)H，交AC于點(diǎn)E，延長BC到點(diǎn)F，使CF=CE，連接AF交BE的延長線于點(diǎn)G，連接GD．下列結(jié)論：①∠F=60°；②GD∥CB；③GH=HB；④∠CEH=∠CHE；⑤S_△BCE：S_△BEA=1：．
其中正確的結(jié)論有（ ）

A．①③
B．②④
C．①③⑤
D．②④⑤

Answer 1

【答案】分析：①證明△ACF≌△BCE，得∠F=∠BEC=67.5°；
②證明BG⊥AF，從而證明G為AF的中點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線定理得GD∥CB；
③根據(jù)直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半得GD=BD．因CD不與GB垂直，故GH≠HB；
④∠CEH=∠CHE=67.5°；
⑤AB=BC．根據(jù)角平分線的性質(zhì)判斷．
解答：解：在△ACF和△BCE中，
∵，
∴△ACF≌△BCE．
①∠F=∠BEC=90°-22.5°=67.5°．故錯(cuò)誤；
②∵∠F=67.5°，∠FBG=22.5°，
∴∠FGB=90°，即BG⊥AF．
∵BG平分角FBA，
∴△ABG≌△FBG．
∴AG=FG．
又D為AB中點(diǎn)，
∴GD∥CB．故正確；
③∵GD=AB=DB，
∴△GDB為等腰三角形．
∵CD⊥AB，不與GB垂直，
∴GH≠HB．故錯(cuò)誤；
④∠CEH=90°-22.5°=67.5°，
∠CHE=45°+22.5°=67.5°，
∴∠CEH=∠CHE．故正確；
⑤∵在等腰Rt△ABC中，AC=BC，
∴AB=BC．
∵BE平分∠ABC，
∴BC：BA=CE：EA=S_△BCE：S_△ABE=1：．
故正確．
故選D．
點(diǎn)評：此題考查全等三角形的判定與性質(zhì)及三角形中位線定理、三角形角的角平分線性質(zhì)等知識點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)．