Question

【題目】如圖所示，正方形ABCD的邊長為3a，兩動點E，F分別從頂點B，C同時開始以相同速度沿邊BC，CD運動，與△BCF相應的△EGH在運動過程中始終保持△EGH≌△BCF，B，E，C，G在一條直線上．

(1)若BE＝a，求DH的長．

(2)當E點在BC邊上的什么位置時，△DHE的面積取得最小值？并求該三角形面積的最小值．

Answer 1

【答案】（1）DH＝a；（2）△DHE的面積取得最小值，最小值是a2.

【解析】

仔細審題，根據已知點E與點F的移動，得到BE=CF，由已知△BCF≌△EGH，利用全等三角形的性質得到HG＝FC，∠G＝∠BCF，連接FH，根據前面所得的條件，不難得到四邊形EBFH是平行四邊形，△DFH是直角三角形，再利用勾股定理第一問就可求解；對于（2），要得到△DHE面積的最小值，設BE=x，根據y=S△CDE+S梯形CDHE-S△EGH=×3a×(3a－x)＋ (3a＋x)x－×3a×x，結合二次函數求最值的方法即可完成解答.

(1)如圖，連接FH，∵△EGH≌△BCF，

∴HG＝FC，∠G＝∠BCF，

∴HG∥FC，

∴四邊形FCGH是平行四邊形，

∴FH=CG，

∴∠DFH＝∠DCG＝90°.

由題意可知，CF＝BE＝a.在Rt△DFH中，DF＝3a－a＝2a，FH＝a，

∴DH＝a.

(2)設BE＝x，△DHE的面積為y.

依題意，得y＝S△CDE＋S梯形CDHG－S△EGH＝×3a×(3a－x)＋ (3a＋x)x－×3a×x，

∴y＝x2－ax＋a2，即y＝＋a2.

∴當x＝a，即E是BC的中點時，y取得最小值，即△DHE的面積取得最小值，最小值是a2.