Question

已知點P是半徑為2的⊙O外一點，PA是⊙的切線，切點為A，且PA=2，在⊙O內作長為2

2

的弦AB，連接PB，則PB的長為

 

．

Answer 1

分析：本題應分兩種情況進行討論：
（1）弦AB在⊙O的同旁，可以根據已知條件證明△POA≌△POB，然后即可求出PA；
（2）弦AB在⊙O的兩旁，此時可以根據已知條件證明PABO是平行四邊形，然后利用平行四邊形的性質和勾股定理即可求出PA．

解答：解：連接OA，
（1）如圖，當弦AB與PA在O的同旁時，
∵PA=AO=2，PA是⊙的切線，
∴∠AOP=45°，
∵OA=OB，
∴∠BOP=∠AOP=45°，
而OP=OP，
∴△POA≌△POB，
∴PB=PA=2；

（2）如圖，當弦AB與PA在O的兩旁，連接OA，OB，
∵PA是⊙O的切線，
∴OA⊥PA，
而PA=AO=2，
∴OP=2

2

；
∵AB=2

2

，
而OA=OB=2，
∴AO⊥BO，
∴PABO是平行四邊形，
∴PB，AO互相平分；
設AO交PB與點C，
即OC=1，
∴BC=

5

，
∴PB=2

5

．

點評：在解本題時應分情況進行討論，解題過程中主要了切線的性質、勾股定理，全等三角形的性質與判定，平行四邊形的性質與判定等知識，綜合性比較強，對于學生分析問題的能力要求比較高．