Question

如圖：△ABC中，D為BC上一動點(diǎn)，BE⊥AD延長線于E，CF⊥AD于F，M是BC的中點(diǎn)，當(dāng)D與M重合如圖②時，試說明ME=MF．當(dāng)D運(yùn)動到如圖①位置時，這個結(jié)論是否成立，說明理由．

Answer 1

分析：圖②根據(jù)AAS證明△BEM≌△CHM即可得出結(jié)論；
圖①延長EM交CF于H，通過證明△EBM≌△HCM（ASA）得出EM=MH，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．

解答：解：∵BE⊥AE，CF⊥AE，
∴∠E=∠CFM，
∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，
∴BM=CM，
又∵∠BDE=∠CDF，
∴△BEM≌△CHM（AAS），
∴ME=MF．

延長EM交FC于H．
因?yàn)锽E⊥AE，CF⊥AE，可知BE∥FC．
易證△BEM≌△CHM，可得EM=MH，
又∠EFH=90°．
∴FM=

1

2

EH=EM．

點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)：在應(yīng)用全等三角形的判定時，必要時添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形；在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．本題關(guān)鍵是添加輔助線找到中間線段MN．