Question

已知：⊙O的直徑AB=8，⊙B與⊙O相交于點C、D，⊙O的直徑CF與⊙B相交于點E，設⊙B的半徑為x，OE的長為y．
（1）如圖，當點E在線段OC上時，求y關于x的函數解析式，并寫出定義域；
（2）當點E在直徑CF上時，如果OE的長為3，求公共弦CD的長；
（3）設⊙B與AB相交于G，試問△OEG能否為等腰三角形？如果能夠，請直接寫出BC的長度（不必寫過程）；如果不能，請簡要說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲求y關于x的函數解析式，連接BE，證明△BCE∽△OCB即可；
（2）求公共弦CD的長，作BM⊥CE，垂足為M．通過圓的知識得出BM=0.5CD，轉化為求BM的長；分為兩種情況：點E在線段OC上時；點E在線段OF上時，求出BM的長；
（3）△OEG為等腰三角形，分為兩種情況：點E在線段OC上時；點E在線段OF上時，根據角的關系先求出角的度數，從而求出BC的長度．
解答：解：（1）連接BE，
∵⊙O的直徑AB=8，
∴OC=OB=AB=4．
∵BC=BE，
∴∠BEC=∠C=∠CBO．
∴△BCE∽△OCB．
∴．
∵CE=OC-OE=4-y，
∴．
∴y關于x的函數解析式為，定義域為0＜x≤4．

（2）作BM⊥CE，垂足為M，

∵CE是⊙B的弦，
∴EM=．
設兩圓的公共弦CD與AB相交于H，則AB垂直平分CD，
∴CH=OC•sin∠COB=OB•sin∠COB=BM．
當點E在線段OC上時，EM==（OC-OE）=，
∴OM=EM+OE=3．
∴BM=．
∴CD=2CH=2BM=．
當點E在線段OF上時，EM==（OC+OE）=．
∴OM=EM-OE=．
∴BM=．
∴CD=2CH=2BM=．

（3）△OEG能為等腰三角形，BC的長度為或．
點評：本題難度較大，數形結合，考查了兩圓的位置關系、相似三角形的性質和函數結合，做題時一定要分析各種情況，不要遺漏．