Question

（2005•中山）如圖所示，在平面直角坐標中，拋物線的頂點P到x軸的距離是4，拋物線與x軸相交于O、M兩點，OM=4；矩形ABCD的邊BC在線段的OM上，點A、D在拋物線上．
（1）請寫出P、M兩點坐標，并求出這條拋物線的解析式；
（2）設矩形ABCD的周長為l，求l的最大值；
（3）連接OP、PM，則△PMO為等腰三角形，請判斷在拋物線上是否存在點Q（除點M外），使得△OPQ也是等腰三角形，簡要說明你的理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據拋物線的頂點P到軸的距離是4，拋物線與x軸相交于O、M兩點，OM=4，知點P的橫坐標是OM的一半，即2；點P的縱坐標是4．點M的坐標是（4，0）．根據點P的坐標可以運用頂點式求函數的解析式，再進一步把點M的坐標代入即可．
（2）設C（x，0），則B（4-x，0），D（x，4x-x²），A（4-x，4x-x²）．分別表示出矩形的長和寬，再進一步根據矩形的周長公式進行計算．然后根據二次函數的最值方法進行求解；
（3）根據等腰三角形的定義，可以考慮OP當底時，共有4個點符合條件．
解答：解：（1）根據題意，得P（2，4）；M（4，0）．
設拋物線的解析式為：y=a（x-2）²+4，
過點M（4，0），則4a+4=0，
∴a=-1，y=-（x-2）²+4=4x-x²，即y=-x²+4x；

（2）設C（x，0），
則B（4-x，0），D（x，4x-x²），A（4-x，4x-x²）．
∵l=2（BC+CD）
=2[（4-2x）+（4x-x²）]
=2（-x²+2x+4）
=-2（x-1）²+10，
∵當x=1時，l有最大值，即l_最大值=10；

（3）存在．應該一共存在4個點，OP的垂直平分線與拋物線有兩個交點，
以O為圓心，OP為半徑作圓，圓與拋物線也有兩個交點（除P點以外），
這四個點都符合題意．
點評：能夠根據已知條件選擇恰當的待定系數法求得二次函數的解析式；能夠利用建立函數關系式的方法求得周長或面積的最值；若要構成等腰三角形，則已知的邊可以當底，也可以當腰．