Question

已知二次函數y=a（x²-6x+8）（a＞0）的圖象與x軸分別交于點A、B，與y軸交于點C．點D是拋物線的頂點．

（1）如圖①，連接AC，將△OAC沿直線AC翻折，若點O的對應點O′恰好落在該拋物線的對稱軸上，求實數a的值；
（2）如圖②，在正方形EFGH中，點E、F的坐標分別是（4，4）、（4，3），邊HG位于邊EF的右側．若點P是邊EF或邊FG上的任意一點，求證四條線段PA、PB、PC、PD不能構成平行四邊形；
（3）如圖②，正方形EFGH向左平移t個單位長度時，正方形EFGH上是否存在一點P（包括正方形的邊界），使得四條線段PA、PB、PC、PD能夠構成平行四邊形？如果存在，請求出t的取值范圍．

Answer 1

解：（1）令y=0，由a（x²-6x+8）=0，解得x₁=2，x₂=4；
令x=0，解得y=8a
故點A、B、C的坐標分別是（2，0）、（4，0）、（0，8a），
則OA=2，該拋物線對稱軸為直線x=3．
如圖①設拋物線對稱軸與x軸的交點為M，則AM=1．
∵由題意得O'A=OA=2，
∴O'A=2AM，
∴∠O'AM=60°，
∴∠OAC=∠O'AC=60°，
∴OC=•AO=2，即8a=2，
解得，a=；

（2）若點P是邊EF或邊FG上的任意一點，結果同樣成立．
（I）如圖②
設P是邊EF上的任意一點（不與點E重合），連接PM．
∵點E（4，4）、F（4，3）與點B（4，0）在同一直線上，點C在y軸上，
∴PB＜BE，即PB＜4，PC≥4，
∴PC＞PB．
又∵PD＞PM＞PB，PA＞PM＞PB，
∴PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD，
∴此時線段PA、PB、PC、PD不能構成平行四邊形．
（II）如圖③，設P是邊FG上的任意一點（不與點G重合），
點F的坐標是（4，3）點G的坐標是（5，3）．
∴FB=3，GB=，
∴3≤PB＜，
∵PC≥4，
∴PC＞PB
又∵PD＞PM＞PB，PA＞PM＞PB，
∴PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD，
∴此時線段PA、PB、PC、PD不能構成平行四邊形．

（3）正方形EFGH向左平移t個單位長度時，正方形EFGH上存在一點P（包括正方形的邊界），使得四條線段PA、PB、PC、PD能夠構成平行四邊形．
如圖④，當點P位于該拋物線的對稱軸上時，四條線段PA、PB、PC、PD能夠構成平行四邊形．
∵點A、B是拋物線與x軸的兩個交點，點P是該拋物線對稱軸上的一點，
∴PA=PB，
∴當PC=PD時，線段PA、PB、PC、PD能夠構成平行四邊形．
①當點P位于邊EF上，即邊EF與對稱軸重合時．
∵該拋物線對稱軸為直線x=3，點E、F的橫坐標均為4，
∴正方形EFGH向左平移1個單位時，正方形EFGH上存在一點P（包括正方形的邊界），使得四條線段PA、PB、PC、PD能夠構成平行四邊形；
②當點P位于邊HG上，即邊HG與對稱軸重合時．
∵點E、F的坐標分別是（4，4）、（4，3），
∴EF=FG=1．
∵該拋物線對稱軸為直線x=3，
∴正方形EFGH向左平移2個單位時，正方形EFGH上存在一點P（包括正方形的邊界），使得四條線段PA、PB、PC、PD能夠構成平行四邊形；
綜上所述，1≤t≤2．
分析：（1）本題需先求出拋物線與x軸交點坐標和對稱軸，再根據∠OAC=60°得出OC，從而求出a．
（2）本題需先分兩種情況進行討論，當P是EF上任意一點時，可得PC＞PB，從而得出PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD，即可求出線段PA、PB、PC、PD不能構成平行四邊形．
（3）要使線段PA、PB、PC、PD能構成平行四邊形，必須有兩組對邊分別相等．
點評：本題考查了二次函數綜合題．其中涉及到的知識點有拋物線的頂點公式，待定系數法求二次函數的解析式以及平行四邊形的判定與性質等．在求有關動點問題時要注意分析題意分情況討論結果．