Question

10．如圖，過矩形ABCD的頂點B作BE∥AC，垂足為E，延長BE交AD于F，若點F是邊AD的中點，則sin∠ACD的值是$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

Answer 1

分析 由矩形的性質得出AD∥BC，AD=BC，∠D=90°，證出△AEF∽△CEB，得出對應邊成比例 $\frac{AE}{CE}=\frac{AF}{BC}$=$\frac{1}{2}$，設AF=DF=a，AE=x，則CE=2x，AC=3x，再證明△AEF∽△ADC，得出 $\frac{AF}{AC}=\frac{AE}{AD}$，得出x=$\frac{\sqrt{6}a}{3}$，AC=$\sqrt{6}$a，再由三角函數的定義即可得出結果．

解答 解：∵點F是邊AD的中點，
∴AF=DF=$\frac{1}{2}$AD，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，∠D=90°，
∴AF=$\frac{1}{2}$BC，△AEF∽△CEB，
∴$\frac{AE}{CE}=\frac{AF}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
設AF=DF=a，AE=x，則CE=2x，AC=3x，
∵BF⊥AC，
∴∠AEF=∠D=90°，
∵∠EAF=∠DAC，
∴△AEF∽△ADC，
∴$\frac{AF}{AC}=\frac{AE}{AD}$，
即 $\frac{a}{3x}=\frac{x}{2a}$，
解得：x=$\frac{\sqrt{6}a}{3}$，
∴AC=$\sqrt{6}$a，
∴sin∠ACD=$\frac{2a}{\sqrt{6}a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題考查了矩形的性質、相似三角形的判定與性質、三角函數；熟練掌握矩形的性質，證明三角形相似是解決問題的關鍵．