Question

已知：如圖所示，AD是△ABC的中線，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F且BE=CF．
求證：（1）AD是∠BAC的平分線；（2）AB=AC．

Answer 1

分析：（1）要證AD平分∠BAC，只需證明△ABD≌△ACD即可．
（2）由1可證得Rt△AED≌Rt△AFD，然后推出BE=CF可得AB=AC．

解答：證明：（1）AD是△ABC的中線（已知），
∴BD=CD．
在Rt△EBD和Rt△FCD中，

BD=CD BE=CF

∴Rt△EBD≌Rt△FCD（HL）．
∴DE=DF（全等三角形的對應邊相等），
即AD是∠BAC的平分線．

（2）在Rt△AED和Rt△AFD中，

AD=AD DE=DF

，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE=AF（全等三角形的對應邊相等）．
又∵BE=CF（已知），
∴AB=AC．

點評：本題考查了全等三角形的判定和性質；三角形全等的判定是中考的熱點，一般以考查三角形全等的方法為主，判定兩個三角形全等，先根據已知條件或求證的結論確定三角形，然后再根據三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．