Question

如圖，?ABCD在平面直角坐標(biāo)系中，AD=6，若OA、OB的長(zhǎng)是關(guān)于x的一元二次方程x²-7x+12=0的兩個(gè)根，且OA＞OB．
（1）求直線CD的解析式；
（2）是否存在x軸上的點(diǎn)E，使得以A、O、E為頂點(diǎn)的三角形與△DAO相似？若存在，請(qǐng)寫出符合條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）∵x²-7x+12=0，
∴（x-3）（x-4）=0，
解得：x=3或x=4，
∵OA、OB的長(zhǎng)是關(guān)于x的一元二次方程x²-7x+12=0的兩個(gè)根，且OA＞OB，
∴OA=4，OB=3，
∴點(diǎn)A（0，4），點(diǎn)B（-3，0），
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴BC=AD=6，
∴OC=BC-OB=3，
∴點(diǎn)C（3，0），點(diǎn)D（6，4），
設(shè)直線CD的解析式為：y=kx+b，
∴，
解得：，
故直線CD的解析式為：y=x-4；

（2）存在．
∵點(diǎn)E在x軸上，
∴∠AOE=90°，
∵△DAO中，∠DAO=90°，
∴∠AOE=∠DAO，
當(dāng)OA：AD=OE：OA時(shí)，△OAE∽△ADO，
∴，
解得：OE=，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為：（，0）或（-，0）；
當(dāng)OA：OA=OE：AD時(shí)，△OAE∽△AOD，
∴，
解得：OE=6，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為：（6，0）或（-6，0）；
∴符合條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)為：（，0），（-，0），（6，0）或（-6，0）．
分析：（1）由OA、OB的長(zhǎng)是關(guān)于x的一元二次方程x²-7x+12=0的兩個(gè)根，且OA＞OB，即可求得OA與OB的長(zhǎng)，又由?ABCD在平面直角坐標(biāo)系中，AD=6，可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，繼而求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求得直線CD的解析式；
（2）由在x軸上的點(diǎn)E，使得以A、O、E為頂點(diǎn)的三角形與△DAO相似，可得∠AOE=∠OAD=90°，然后由相似三角形的性質(zhì)，即可求得符合條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、一元二次方程的解法、待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式以及相似三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握方程思想、分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．