Question

如圖，已知拋物線y=-

2

3

x²+

4

3

x+2的圖象與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸與x軸交于點D．點M從O點出發，以每秒1個單位長度的速度向B運動，過M作x軸的垂線，交拋物線于點P，交BC于Q．
（1）求點B和點C的坐標；
（2）設當點M運動了x（秒）時，四邊形OBPC的面積為S，求S與x的函數關系式，并指出自變量x的取值范圍；
（3）在線段BC上是否存在點Q，使得△DBQ成為以BQ為一腰的等腰三角形？若存在，求出點Q的坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）已知拋物線解析式，令y=0，x=0，可求B、C兩點坐標；
（2）設點P的坐標為P（x，y），由S_{四邊形OBPC}=S_△OPC+S_△OPB可列出S與x的函數關系式，由于B（3，0），∴0≤x≤3；
（3）∵BQ為一腰，有兩種可能：①BQ=DQ，②BQ=BD=2，都可由相似三角形的對應邊的比，求出OM、MQ的長．

解答：解：（1）把x=0代入y=-

2

3

x²+

4

3

x+2得點C的坐標為C（0，2）
把y=0代入y=-

2

3

x²+

4

3

x+2得點B的坐標為B（3，0）

（2）連接OP，設點P的坐標為P（x，y）
S_{四邊形OBPC}=S_△OPC+S_△OPB=

1

2

×2×x+

1

2

×3×y
=x+

3

2

（-

2

3

x²+

4

3

x+2）
∵點M運動到B點上停止，
∴0≤x≤3
∴S=-（x-

3

2

）²+

21

4

（0≤x≤3）

（3）存在．
BC=

OB2+OC2

=

13

①若BQ=DQ
∵BQ=DQ，BD=2
∴BM=1
∴OM=3-1=2
∴tan∠OBC=

QM

BM

=

OC

OB

=

2

3

∴QM=

2

3

所以Q的坐標為Q（2，

2

3

）．
②若BQ=BD=2
∵△BQM∽△BCO，
∴

BQ

BC

=

QM

CO

=

BM

BO

∴

2

13

=

QM

2

∴QM=

4 13

13

∵

BQ

BC

=

BM

OB

∴

2

13

=

BM

3

∴BM=

6 13

13

∴OM=3-

6 13

13

所以Q的坐標為Q（3-

6 13

13

，

4 13

13

）．
綜上所述，Q的坐標為Q（2，

2

3

）或Q（3-

6 13

13

，

4 13

13

）．

點評：本題考查了二次函數解析式的運用，坐標系里面積表示方法，及尋找特殊三角形的條件問題，涉及分類討論和相似三角形的運用．