Question

如圖所示，已知AB為⊙O的直徑，C、D是直徑AB同側圓周上兩點，且弧CD=弧BD，過D作DE⊥AC于點E，求證：DE是⊙O的切線．

Answer 1

【答案】分析：連接OD與BC，交于F點，由弧CD與弧BD相等，利用垂徑定理的逆定理得到OD與BC垂直，由垂直的定義得到一個角為直角，再由直徑所對的圓周角為直角得到一個直角，由同位角相等兩直線平行得到AE與OD平行，再由兩直線平行同旁內角互補可得出一對角互補，由AE與ED垂直得到一個角為直角，可得出DE與OD垂直，進而得到DE為圓O的切線．
解答：證明：連接OD，BC，交于點F，如圖所示：
∵=，OD為圓O的半徑，
∴OD⊥BC，
∴∠OFB=90°，
∵AB為圓O的直徑，
∴∠ACB=∠OFB=90°，
∴AE∥OD，
∴∠ODE+∠AED=180°，
又AE⊥ED，∴∠AED=90°，
∴∠ODE=90°，
∴DE⊥OD，
則DE為圓O的切線．
點評：此題考查了切線的判定，涉及的知識有：垂徑定理的逆定理，以及平行線的判定與性質，切線的判定方法有兩種：有點連接證垂直；無點作垂線，證明垂線段等于半徑．