Question

如圖，n+1個上底、兩腰長皆為1，下底長為2的等腰梯形的下底均在同一直線上，設四邊形P₁M₁N₁N₂面積為S₁，四邊形P₂M₂N₂N₃的面積為S₂，…，四邊形P_nM_nN_nN_n+1的面積記為S_n，通過逐一計算S₁，S₂，…，可得S_n=（　　）

• A．

  3

  4

  3

  -

  1

  2n+1

  ?

  3

  4

• B．

  1

  2n+1

  ?

  3

  4

• C．

  n

  2n+1

  ?

  3

  4

• D．

  2n-1

  2n+1

  ?

  3

  4

Answer 1

分析：先求出一個小梯形的高和面積，再根據相似三角形對應高的比等于對應邊的比求出四邊形P_nM_nN_nN_n+1上方的小三角形的高，然后用小梯形的面積減上方的小三角形的面積即可．

解答：解：如圖，根據題意，小梯形中，
過D作DE∥BC交AB于E，
∵上底、兩腰長皆為1，下底長為2，
∴AE=2-1=1，
∴△AED是等邊三角形，
∴高h=1×sin60°=

3

2

，
S_梯形=

1

2

×（1+2）×

3

2

=

3 3

4

，
設四邊形P_nM_nN_nN_n+1的上方的小三角形的高為x，
根據小三角形與△AM_nN_n相似，AN_n=2n，
由相似三角形對應邊上高的比等于相似比，可知

x

h-x

=

1

2n

，
解得x=

h

2n+1

=

1

2n+1

•

3

2

，
∴S_n=S_梯形-

1

2

×1×

1

2n+1

•

3

2

，
=

3

4

3

-

1

2n+1

•

3

4

；
故選A．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質、等腰梯形的性質．解答本題關鍵在于看出四邊形P_nM_nN_nN_n+1的面積等于一個小梯形的面積減掉它上方的小三角形的面積，而小三角形的面積可以利用相似三角形的性質求出，此題也就解決了．