Question

13．已知m，n，p均為實數，若x-1，x+4均為多項式x³+mx²+nc+p的因式，則2m-2n-p+86=100．

Answer 1

分析 根據三次項系數為1可設另一個因式為（x+k），將原式變形為x³+mx²+nx+p=（x-1）（x+4）（x+k）=x³+（k+3）x²+（3k-4）x-4k，可得$\left\{\begin{array}{l}{m=k+3}\\{n=3k-4}\\{p=-4k}\end{array}\right.$，代入2m-2n-p+86可得答案．

解答 解：∵x-1，x+4均為多項式x³+mx²+nx+p的因式，且三次項系數為1，
∴設另一個因式為（x+k），
則x³+mx²+nx+p=（x-1）（x+4）（x+k）=x³+（k+3）x²+（3k-4）x-4k，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m=k+3}\\{n=3k-4}\\{p=-4k}\end{array}\right.$，
∴2m-2n-p+86=2（k+3）-2（3k-4）+4k+86
=2k+6-6k+8+4k+86
=100，
故答案為：100．

點評 本題主要考查因式分解的意義，根據系數設另一個因式，從而變形將待求式子的未知數化為統一未知數是解題的關鍵．