Question

如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，∠BAC的平分線交⊙O于點D，過D點作EF∥BC交AB的延長線于點E，交AC的延長線于點F．
（1）求證：EF為⊙O的切線；
（2）若sin∠ABC=，CF=1，求⊙O的半徑及EF的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OD，只要證明OD⊥EF即可．
（2）連接BD，CD，根據相似三角形的判定可得到△CDF∽△ABD∽△ADF，根據相似比及勾股定理即可求得半徑及EF的值．
解答：（1）證明：連接OD；
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°；
∵EF∥BC，
∴∠AFE=∠ACB=90°，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA；
又∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD=∠DAC，
∴∠ODA=∠DAC，
∴OD∥AF，
∴∠ODE=∠AFD=90°，
即OD⊥EF；
又∵EF過點D，
∴EF是⊙O的切線．

（2）解：連接BD，CD；
∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADB=∠AFD；
∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD=∠DAC，
∴BD=CD；
設BD=CD=a；
又∵EF是⊙O的切線，
∴∠CDF=∠DAC，
∴∠CDF=∠OAD=∠DAC，
∴△CDF∽△ABD∽△ADF，
∴；
∵sin∠ABC==，
∴設AC=4x，AB=5x，
∴a²=5x，
∴在Rt△CDF中DF²=CD²-CF²=5x-1；
又∵，
∴5x-1=1×（1+4x），
∴x=2，
∴AB=5x=10，AC=4x=8；
∵EF∥BC，
∴△ABC∽△AEF，
∴，，，
∴在Rt△AEF中，．
點評：本題考查切線的判定和性質，圓周角定理，相似三角形的判定和性質等知識點的綜合運用．