Question

如圖，已知等邊△ABC中，D、E分別為BC、AC上的點，且AE=DC，連接AD、BE交于點P，過B作QB⊥AD，Q為垂足．求證：BP=2PQ．

Answer 1

答案：略
解析：

證明：∵△ABC為等邊三角形， ∴∠BAC=∠ACB=60°，AB=AC， 在△ABE和△CAD中， ∴△ABE≌△CAD(SAS)． ∴∠2=∠1， ∵∠BPQ=∠2＋∠3， ∴∠BPQ=∠1＋∠3， ∴∠BPQ=∠BAC=60°． ∵QB⊥AD， ∴∠PBQ=30°， ∴BP=2PQ．

提示：

由于△BPQ為直角三角形，欲證BP=2PQ只需證明∠PBQ=30°或∠BPQ=60°，由等邊△ABC知它的內角都等于60°，故只須證∠BPQ與△ABC的一個內角相等．又∠BPD=∠2＋∠3，而知上∠1＋∠3=60°，所以只要證∠1=∠2，而由已知得△ABE≌△CAD，故問題得證．