Question

如圖，在△OAB中，∠B=90°，∠BOA=30°，OA=4，將△OAB繞點O按逆時針方向旋轉至△OA′B′，C點的坐標為（0，4）。
（1）求A′點的坐標；
（2）求過C，A′，A三點的拋物線y=ax²+bx+c的解析式；
（3）在（2）中的拋物線上是否存在點P，使以O，A，P為頂點的三角形是等腰直角三角形？若存在，求出所有點P的坐標；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）過點A′作A′D垂直于x軸，垂足為D則四邊形OB′A′D為矩形， 在△A′DO中， A′D=OA′·sin∠A′OD=4×sin60°= OD=A′B′=AB=2 ∴點A′的坐標為（2，）；
（2）∵C（0，4）在拋物線上， ∴c=4 ∴y=ax2+bx+4， ∵A（4，0），A′（2，）， 在拋物線y=ax2+bx+4上 ∴ 解之得 ∴所求解析式為；
（3）①若以點O為直角頂點，由于OC=OA=4，點C在拋物線上，則點C（0，4）為滿足條件的點； ②若以點A為直角頂點，則使△PAO為等腰直角三角形的點P的坐標應為（4，4）或（4，-4），代入拋物線解析式中 知此兩點不在拋物線上； ③若以點P為直角頂點，則使△PAO為等腰直角三角形的點P的坐標應為（2，2）或（2，-2），代入拋物線解析式中 知此兩點不在拋物線上， 綜上述在拋物線上只有一點P（0，4）使△OAP為等腰直角三角形。