Question

矩形紙片ABCD中，AD=12cm，現將這張紙片按下列圖示方式折疊，AE是折痕．
（1）如圖1，P，Q分別為AD，BC的中點，點D的對應點F在PQ上，求PF和AE的長；
（2）如圖2，DP=

1

3

AD，CQ=

1

3

BC，點D的對應點F在PQ上，求AE的長；
（3）如圖3，DP=

1

n

AD，CQ=

1

n

BC，點D的對應點F在PQ上．
①直接寫出AE的長（用含n的代數式表示）；  ②當n越來越大時，AE的長越來越接近于

 

．

Answer 1

分析：（1）根據P、Q是矩形ABCD中AD，BC的中點，可得AP=

1

2

AD=

1

2

AF，∠APF=90°，從而可得∠AFP=30°，∠FAD=60°然后利用三角函數值即可求解．
（2）根據DP=

1

3

AD=4，求得FP，利用DE=EF，∠AED=∠AEF，∠AED=∠FGE，求證EF=GF，設DE=x，則GF=x利用△APG∽△ADE的對應邊成比例可求的AE．
（3）①可得AE=12

2n 2n-1

，②當n越來越大時，根據AE=12

2n 2n-1

可判定AE的長．

解答：解：（1）∵P、Q是矩形ABCD中AD，BC的中點，
∴AP=

1

2

AD=

1

2

AF，∠APF=90°，
∴∠AFP=30°，
∴PF=

3

×AP=6

3

，
∴∠FAD=60°，
∴∠DAE=

1

2

∠FAD=30°，
∴AE=

AD

cos30°

=8

3

cm，

（2）∵DP=

1

3

AD=4，
∴AP=

2

3

AD=8
∴FP=

122-82

=4

5

，
∵DE=EF，∠AED=∠AEF，∠AED=∠FGE，
∴∠FGE=∠FEG，
∴EF=GF，
設DE=x，則GF=x
∵△APG∽△ADE，
∴

PG

DE

=

AP

AD

，
∴PG=

2

3

x
∴

2

3

x+x=4

5

，
∴x=

12

5

5

，
∴AE=

AD2+DE2

=

12 30

5

；

（3）①可得AE=12

2n 2n-1

，
②∵AE=12

2n 2n-1

，
∴當n越來越大時，AE越來越接近于12．
故答案為：12．

點評：此題涉及到相似三角形的判定與性質，矩形的性質，翻折變換（折疊問題）等知識點，綜合性較強，特別是翻折變換（折疊問題）要求學生應具備一定的空間想象能力，因此此題有一定的拔高難度，屬于難題．