Question

已知：如圖，拋物線與軸的負半軸相交于點，與軸相交于點（0，3），且∠的余切值為．

（1）求該拋物線的表達式，并寫出頂點的坐標；

（2）設該拋物線的對稱軸為直線，點關于直線的對稱點為，與直線相交于點．點在直線上，如果點是△的重心，求點的坐標；

（3）在（2）的條件下，將（1）所求得的拋物線沿軸向上或向下平移后頂點為點，寫出平移后拋物線的表達式．點在平移后的拋物線上，且△的面積等于△的面積的2倍，求點的坐標．

 

Answer 1

【答案】

（1），（1，4）（2）（1，6）．（3）、

【解析】（1）由點，可知 ．

在Rt△中，．

即得點（－1，0）．                                                       （1分）

由拋物線經過點、，

得 

解得 

所以，所求拋物線的表達式為．                               （2分）

頂點的坐標為（1，4）．                                                  （1分）

（2）該拋物線的對稱軸直線為．                                           （1分）

由題意，可知點的坐標為（2，3），且點（1，3）為的中點．

∴．                                                              （1分）

∵點是△的重心，

∴．

即得．                                                            （1分）

于是，由點在直線上，得點的坐標為（1，6）．                          （1分）

（3）由，可知將拋物線向上平移2個單位，

得平移后的拋物線的表達式為．                               （1分）

設點的坐標為（m，n）．

△和△邊上高分別為、1，

于是，由△的面積等于△的面積的2倍，

得．

解得，．

∵點在拋物線上，

∴，．                                                        （2分）

∴點的坐標分別為、．                               （1分）

（1）求出OB，根據已知得出tan∠OAB=，求出OA，即可求出A的坐標，代入拋物線即可求出拋物線的表達式，化成頂點式即可求出D的坐標；

（2）求出C的坐標，求出E的坐標，得出DE，求出PD、PE，即可得出P的坐標；

（3）根據P、D的坐標得出拋物線相上平移兩個單位即可得出新拋物線，設點M的坐標為（m，n）．求出△MPD和△BPD邊PD上高分別為|m-1|、1，根據面積得出|m-1|=2，求出m，代入拋物線求出n即可．