Question

如圖1，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AC=3，AB=4，點P是邊AB上任意一點，過點P作PQ⊥AB交BC于點E，截取PQ=AP，聯結AQ，線段AQ交BC于點D，設AP=x，DQ=y．
（1）求y關于x的函數解析式及定義域；                        
（2）如圖2，聯結CQ，當△CDQ和△ADB相似時，求x的值；   
（3）當以點C為圓心，CQ為半徑的⊙C和以點B為圓心，BQ為半徑的⊙B相交的另一個交點在邊AB上時，求AP的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）過點D作DM⊥AC，垂足為M．根據等腰直角三角形的性質和相似三角形的判定和性質可求AQ，AD，再根據線段之間的和差關系可得y關于x的函數解析式；
（2）當△CDQ和△ADB相似時，分兩種情況：①當∠QCD=∠B時；②當∠QCD=∠QAB時；根據相似三角形的性質可求x的值；
（3）設⊙C與⊙B相交的另一個交點為M，聯結QM交BC于點N．可得∴△BMN∽△BCA，△QPM∽△BAC，根據相似三角形的性質即可求出AP的長．
解答：解：（1）過點D作DM⊥AC，垂足為M．
由題意，可知△APQ是等腰直角三角形，
∴；
易得△CMD∽△CAB，
∴；
設CM=3a，DM=4a，
∴AM=4a，
∴a=，，
∴，
∴．
定義域是：≤x≤4．
（注：其它解法參照評分．）

（2）∵∠CDQ=∠ADB，
∴當△CDQ和△ADB相似時，分以下兩種情況：
①當∠QCD=∠B時，
∴CQ∥AB，
四邊形CAPQ是正方形；
∴x=AP=AC=3． 
②當∠QCD=∠QAB時，
∴，
由上述（1）的解法，可得，，
∴，
∴；
∴，
解得．
綜合①②，當△CDQ和△ADB相似時，x的值為3或．

（3）如圖，設⊙C與⊙B相交的另一個交點為M，聯結QM交BC于點N．
∴BC⊥QM，QN=MN．
∴△BMN∽△BCA，△QPM∽△BAC，
∴，
設MN=3t，BN=4t，
∴BM=5t；    
∴QM=6t，
∴；
∵BQ=BM=5t，
∴； 
又∵，
∴，
解得；  
∴．
點評：此題主要考查了相似形綜合題，涉及的知識有：相似三角形的判定和性質，求一次函數解析式，分類思想的運用，正方形的判定和性質，綜合性較強，有一定的難度．